Question

（2013•海門市二模）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點P是射線DA上的一動點，DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與射線DC交于點F．
（1）若點P在邊DA上（與點D、點A不重合）．
①求證：△DEF∽△CEB；
②設AP=x，DF=y，求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當△EFC與△BEC面積之比為3：16時，線段AP的長為多少？（直接寫出答案，不必說明理由）．

Answer 1

分析：（1）①由于∠DEC、∠FEB都是直角，那么∠DEF、∠CEB為同角的余角，由此可得∠DEF=∠CEB，同理可證得∠EDF=∠BCE，由此得證．
②此題可通過兩步相似，即△DEC∽△PDC和△DEF∽△CEB，來證得PD=DF，從而求得y、x的函數關系式；
（2）設AP的長為x，根據△EFC與△BEC面積之比為3：16，列出有關x的方程，求解即可．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠ECB=∠DPE，∠PDE+∠CDE=90°，
∵DE⊥CP，
∴∠DEP=∠DEC=90°，
∴∠PDE+∠DPE=90°，
∴∠DPE=∠CDE，
∵∠ECB=∠DPE，
∴∠ECB=∠EDF，
∵∠DEC=90°，
∴∠DEF+∠FEC=90°．
∵EF⊥BE，
∴∠CEB+∠FEC=90°，
∴∠DEF=∠CEB，
∴△DEF∽△CEB．

②∵△DEF∽△CEB，
∴

DF

CB

=

DE

CE

，
∵DF=y，BC=2，AP=x，AB=4，
∴

y

2

=

DE

CE

，DP=2-x，CD=4，
由∠PDC=90°，DE⊥CP，易證△DPC∽△EDC，
∴

DE

CE

=

DP

DC

=

2-x

4

，
∴

y

2

=

2-x

4

，
∴y=-

1

2

x+1，
∴x的取值范圍為0＜x＜2．

（2）AP長為-2+

13

或2+

13

或2+

19

．

點評：此題考查了相似形的綜合，此題主要考查了正方形的性質以及相似三角形的判定和性質，難度較大，