Question

（2013•海門(mén)市二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2（k-1）x+k²-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）0可能是方程的一個(gè)根嗎？若是，請(qǐng)求出它的另一個(gè)根；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為30，求實(shí)數(shù)k．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得△＞0，再代入相應(yīng)數(shù)值解不等式即可；
（2）把x=0代入原方程中得k²-1=0，解出k的值，再把k的值代入x²+2（k-1）x+k²-1=0，解方程即可；
（3）設(shè)此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²-1，根據(jù)“方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為30”可得x₁²+x₂²=30，整理后可得[-2（k-1）]²-2（k²-1）=30，再解出k的值．

解答：解：（1）由題意得：△=[2（k-1）]²-4×1×（k²-1）＞0，
解得：k＜1，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＜1．

（2）0可能是方程的一個(gè)根，
把x=0代入原方程中，k²-1=0，
∴k=±1，
∵k＜1，
∴k=-1，
此時(shí)方程x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
故它的另一個(gè)根是4．

（3）設(shè)此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂
則x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²-1，
∵x₁²+x₂²=30，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=30，
∴[-2（k-1）]²-2（k²-1）=30，
 整理得k²-4k-12=0，
解得：k₁=-2，k₂=6，
∵k＜1，
∴k=-2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根的判別式，一元二次方程的解，以及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
以及根與系數(shù)的關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．