Question

已知點A在直角坐標系中如圖：
（1）寫出A點的坐標，作A點關于x軸的對稱點A'，連接OA，并求sin∠OAA'的值．
（2）若直線y=mx+3n和雙曲線y=都經過A點關于x軸的對稱點A'，試求m、n的值，并求直線與雙曲線的另一個交點的坐標．

Answer 1

解：（1）A（1，-2）
作AB⊥OX交x軸于點B，并延長到A′是BA′=BA，則A′是A關于x軸的對稱點，連接OA如圖，在Rt△ABO中，OB=1，AB=2，
則OA==，sin∠OAA'===；

（2）點A關于x軸的對稱點A′（1，2），
由題意得，
①×2-②得：2n=2，n=1，
把n=1代入①得：m=-1，
直線為：y=-x-3 ③，
雙曲線為y=④
由③④得：-x+3=，x²-3x+2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
當x=2時，y=1，∴直線與雙曲線的另一個交點為（2，1）．
分析：（1）根據點關于x軸的對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數，求出A′點的坐標，再由三角函數求出sin∠OAA'的值．
（2）由直線和雙曲線的交點，列方程組求出m、n的值，從而求出另一個交點．
點評：本題綜合考查了一次函數與反比例函數的應用，題中運用點的對稱和方程組的方法解決三角函數問題．