如圖，自△ABC內的任一點P，作三角形三條邊的垂線：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE．
證明：AE=AF．

證明：
如圖，若四邊形的兩條對角線互相垂直，則其兩組對邊的平方和相等．
連PA，PB，PC，
則有PA²+BF²=PB²+AF²；
PB²+CD²=PC²+BD²，
PC²+AE²=PA²+CE²；
三式相加得AE²+CD²+BF²=AF²+CE²+BD²，
利用條件BD=BF，CD=CE，
代入上式，得AE=AF．
分析：根據四邊形的兩條對角線互相垂直，則其兩組對邊的平方和相等，PA²+BF²=PB²+AF²；PB²+CD²=PC²+BD²，PC²+AE²=PA²+CE²；
代入BD=BF，CD=CE得：AE=AF．
點評：本題考查了勾股定理的正確運用，本題中準確的計算AE²+CD²+BF²=AF²+CE²+BD²是證明AE=AF的關鍵．

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科目：初中數學 來源： 題型：

14、如圖，自△ABC內的任一點P，作三角形三條邊的垂線：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE；
證明：AE=AF．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖①，P為△ABC內一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．
（1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE丄CD，垂足為E．試說明E是△ABC的自相似點；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如圖③，利用尺規作出△ABC的自相似點P（寫出作法并保留作圖痕跡）；
②若△ABC的內心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．