Question

一張矩形紙片，剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形．

（1）判斷與操作：
如圖2，矩形ABCD長為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請說明理由．
（2）探究與計算：
已知矩形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a＜20），且它是3階奇異矩形，請畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值．
（3）歸納與拓展：
已知矩形ABCD兩鄰邊的長分別為b，c（b＜c），且它是4階奇異矩形，求b：c（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知操作步驟畫出即可；
（2）根據已知得出符合條件的有4種情況，畫出圖形即可；
（3）根據題意得出第1次操作前短邊與長邊之比為：，；，；，；，，最終得出長邊和短邊的比是1：2，即可進行操作后得出正方形．
解答：解：（1）矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如下：


（2）裁剪線的示意圖如下：


（3）b：c的值為，，，，，，，，
規律如下：第4次操作前短邊與長邊之比為：；
第3次操作前短邊與長邊之比為：，；
第2次操作前短邊與長邊之比為：，；，；
第1次操作前短邊與長邊之比為：，；，；，；，．
點評：本題考查了矩形性質，正方形性質，尋找規律的應用，主要考查學生的變換能力和了解能力，注意：要進行分類討論．