Question

（本題滿分10分）已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F.

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）當直線DF與⊙O相切時，求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OE．欲證直線EF是⊙O的切線，只需證明EF⊥AC．利用等邊三角形的三個內角都是60°、等腰三角形OBE以及三角形的內角和定理求得同位角∠BOE=∠A=60°，從而判定OE∥AC，所以由已知條件EF⊥AC判定OE⊥EF，即直線EF是⊙O的切線；

（2）連接DF．設⊙O的半徑是r．由等邊三角形的三個內角都是60°、三條邊都相等、以及在直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半求得關于r的方程4﹣r=2（4r﹣4），解方程即可．

試題解析：（1）連接OE．∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°，∴∠BOE=∠A=60°，∴OE∥AC（同位角相等，兩直線平行）；∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，即直線EF是⊙O的切線；

（2）連接DF．∵DF與⊙O相切，∴∠ADF=90°，設⊙O的半徑是r，則EB=r，EC=4﹣r，AD=4﹣2r，在Rt△ADF中，∠A=60°，∴AF=2AD=8﹣4r，∴FC=4r﹣4，在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，∴4﹣r=2（4r﹣4），解得，r=；∴⊙O的半徑是．

考點：1．切線的判定與性質；2．等邊三角形的判定與性質．