Question

【題目】已知：如圖.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.點(diǎn)P由B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng).速度為1cm/s.同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng).速度為1cm/s，過(guò)點(diǎn)P作PMBC交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QNBC，垂足為點(diǎn)N，連接MQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<3)，解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M是邊AB中點(diǎn)?

（2）設(shè)四邊形PNQM的面積為y(cm2)，求出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；

（4）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PNQM為正方形?若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t為s時(shí)，點(diǎn)M是AB中點(diǎn)；

（2）y與t的函數(shù)關(guān)系式是y

（3）t的值為s；

（4）不存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出BD＝3，根據(jù)，即可求出時(shí)間t；
（2）先判斷出△MBP∽△ABD，進(jìn)而得出MP，同理表示出QN和CN，然后利用梯形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）中所求，結(jié)合面積之間的關(guān)系建立方程即可得出結(jié)論；
（4）假設(shè)存在，先利用PM＝QN求出t，進(jìn)而求出PM，PN，判斷出PM≠PN即可得出結(jié)論．

解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

∵PM⊥BC，

∴PM∥AD，

∴，

∵點(diǎn)M是AB中點(diǎn)

∴，

∴，

∵AB = AC，

∴，

∵BP=t，

∴，解得：，

即當(dāng)t為s時(shí)，點(diǎn)M是AB中點(diǎn)；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

∵PM∥AD，

∴△MBP∽△ABD，

∴，

∵，

∴，

∴，

同理，△QCN∽△ACD，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴y =S四邊形PNQM=，

即y與t的函數(shù)關(guān)系式是y；

（3）若S四邊形PNQM ：S△ABC＝4：9，則y=S△ABC，

∵S△ABC=，

∴，

解得，（不合題意，舍去），

∴t的值為s；

（3）若四邊形PNQM為正方形，則需滿(mǎn)足PM = QN，PM = PN，

當(dāng)PM = QN時(shí)，，

解得：，

當(dāng)時(shí)，PM =，PN=，

∴PM≠PN，

∴不存在．