Question

【題目】已知，我們把任意形如：的五位自然數（其中，，）稱之為喜馬拉雅數，例如：在自然數中，，所以就是一個喜馬拉雅數．并規定：能被自然數整除的最大的喜馬拉雅數記為，能被自然數整除的最小的喜馬拉雅數記為．

（1）求證：任意一個喜馬拉雅數都能被3整除；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）112221．

【解析】分析：(1)根據喜馬拉雅數的定義求出各個數位上的數字之和；(2)根據能被自然數8整除的最小的喜馬拉雅數記為的整除的特征，與各數位上的數字的特點求得I(8).

詳解：(1)各數位數字之和為：

a＋b＋c＋b＋a＝2a＋2b＋c＝2a＋2b＋(a＋b)＝3(a＋b).

∵a，b是整數，

∴a＋b是整數.

∴任意一個喜馬拉雅數都能被3整除

(2)根據題意得：F(3)＝90909.

I(8)＝＝1263a＋139b－，

∵喜馬拉雅數能被8整除，

∴3a＋2b能被8整除.

∵，，，

∴.

∴3a＋2b＝8或16或24.

則I(8)＝21312.

∴F(3)＋I(8)＝90909＋21312＝112221.