Question

設關于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂，且x₁＜2＜x₂，那么實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據根的判別式求出a的取值范圍，再根據根與系數的關系求出a的取值范圍，求其公共解即可．

解答：解：∵關于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂，
∴△=（a+2）²-4a•9a=a²+4a+4-36a²=-35a²+4a+4＞0；
整理得（-5a+2）（7a+2）＞0，
即

-5a+2＞0 7a+2＞0

，解得-

2

7

＜a＜

2

5

；
或

-5a+2＜0 7a+2＜0

，無解；
又∵x₁＜2＜x₂，
∴x₁-2＜0，x₂-2＞0，
∴（x₁-2）（x₂-2）＜0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4＜0，
根據根與系數的關系得，9-2×（-

a+2

a

）+4＜0，
解得0＞a＞-

4

15

，
綜上，-

4

15

＜a＜0．
故答案為-

4

15

＜a＜0．

點評：此題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，將二者結合是解題常用的方法．