Question

設關于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0，有兩個不相等的實數根x₁、x₂，且x₁＜1＜x₂，那么實數a的取值范圍是（　　）

• A、a＜-

  2

  11

• B、

  2

  7

  ＜a＜

  2

  5

• C、a＞

  2

  5

• D、-

  2

  11

  ＜a＜0

Answer 1

分析：根據一元二次方程的根的判別式，建立關于a的不等式，求出a的取值范圍．又存在x₁＜1＜x₂，即（x₁-1）（x₂-1）＜0，x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，利用根與系數的關系，從而最后確定a的取值范圍．

解答：解：∵方程有兩個不相等的實數根，
則△＞0，
∴（a+2）²-4a×9a=-35a²+4a+4＞0，
解得-

2

7

＜a＜

2

5

，
∵x₁+x₂=-

a+2

a

，x₁x₂=9，
又∵x₁＜1＜x₂，
∴x₁-1＜0，x₂-1＞0，
那么（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，
即9+

a+2

a

+1＜0，
解得-

2

11

＜a＜0，
最后a的取值范圍為：-

2

11

＜a＜0．
故選D．

點評：總結：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
2、根與系數的關系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．