Question

【題目】將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形A1BC1D1，點(diǎn)A、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、C1、D1,當(dāng)點(diǎn)A1落在AC上時(shí).

（1）如圖，若∠CAB＝60°，求證：四邊形ABD1C為平行四邊形；

（2）如圖，AD1交CB于點(diǎn)O．若∠CAB≠60°，求證：DO＝AO.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）證△ABA1是等邊三角形，得∠AA1B＝∠A1BD1，由AC∥BD1，AC＝BD1，可得；（2）連接BD1．證△BCD1≌D1A1B，得四邊形ABD1C是平行四邊形，再證△OCD1≌△OBA（AAS），△DCO≌△ABO（SAS），可得DO＝OA．

證明：（1）如圖1中，

∵∠BAC＝60°，BA＝BA1，

∴△ABA1是等邊三角形，

∴∠AA1B＝60°，

∵∠A1BD1＝60°，

∴∠AA1B＝∠A1BD1，

∴AC∥BD1，

∵AC＝BD1，

∴四邊形ABD1C是平行四邊形．

（2）如圖2中，連接BD1．

∵∠BCD1＝∠BAD1＝90°，BD1＝D1B，BC＝A1D1，

∴△BCD1≌D1A1B，

∴CD1＝BA1，

∵BA＝BA1，

∴AB＝CD1，∵AC＝BD1

∴四邊形ABD1C是平行四邊形，

∴CD1∥AB，CD1＝AB，

∠OCD1＝∠ABO，

∵∠COD1＝∠AOB，

∴△OCD1≌△OBA（AAS），

∴OC＝OB，

∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，

∴△DCO≌△ABO（SAS），

∴DO＝OA．