Question

觀察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x²﹣1，
（x﹣1）（x²+x+1）=x³﹣1，
（x﹣1）（x³+x²+x+1）=x⁴﹣1，
（x﹣1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵﹣1，
（1）根據前面各式的規律可得：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x²+x+1）=　_________　（其中n為正整數）．
（2）根據（1）求1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的值，并求出它的個位數字．

Answer 1

（1）xⁿ⁺¹﹣1   （2）5

試題分析：（1）根據各式的規律即可用n表示出結果；
（2）將所求式子乘以1，即2﹣1，利用上述規律即可得到結果；再由2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，個位數字分別為2，4，8，6循環，且64÷4=16，即可得出結果的個位數字．
解：（1）根據各式的規律可得：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹﹣1；
（2）根據各式的規律得：1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³=（2﹣1）（2⁶³+2⁶²+…+2³+2²+2+1）=2⁶⁴﹣1，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，且64÷4=16，
∴2⁶⁴個位上數字為6，
則1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的個位數字為5．
故答案為：（1）xⁿ⁺¹﹣1．（2）5
點評：此題考查了平方差公式的應用，屬于規律型試題，弄清題中的規律是解本題的關鍵．