Question

（本題滿分8分）如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為1，∠CBD＝30°，則圖中陰影部分的面積；
（3）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E若BC＝12，tan∠CDA＝，求BE的長．

Answer 1

（1）見解析    （2）－        （3）5

解析試題分析：（1）連接OD、OE，根據(jù)∠ADO+∠DBA=90°以及∠∠CDA=∠CBD得出∠ODC=90°；（2）陰影部分的面積等于△OCD的面積減去扇形ODA的面積進行計算；（3）將∠CDA轉(zhuǎn)化成∠OEB，然后利用勾股定理進行求解.
試題解析：（1）證明：連OD，OE，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠BDO，∴∠BDO=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線；
、∵OD=1，∠CBD=30°    ∴∠DOC=60°  ∴∠C=30°   ∴OC=2，CD=
∴△OCD的面積=   扇形ODA的面積=   ∴陰影部分的面積=－；
（3）∵EB為⊙O的切線，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，
∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，
∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴，∴CD=×12=8，
在Rt△CBE中，設(shè)BE=x，∴（x+8）²=x²+12²，解得x=5．即BE的長為5．
考點：切線的判定、扇形的面積計算、銳角三角函數(shù)的求值