Question

如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠DBC=∠ABC．若梯形的周長為40，求梯形的中位線．

Answer 1

解：作梯形的高AE，DF，如圖，
∵∠DBC=∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠1=∠2=∠3，則AD=AB=DC，設AD=x，
而梯形的周長為40，
∴BC=40-3x，
又∵AE，DF為等腰梯形的高，
∴BE=CF，EF=x，
∴CF=20-2x，
又∵BD⊥DC，
∴∠2+∠C=90°，而∠C+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
∴Rt△CDF∽△CBD，
∴CD²=CF•CB，即x²=（20-2x）（40-3x），解方程得x₁=20，x₂=8，20不和題意舍去，
∴x=8，則AD=8，BC=40-3x=16，
所以梯形的中位線=（8+16）=12．
分析：作梯形的高AE，DF，由∠DBC=∠ABC，得∠1=∠2，由四邊形ABCD為等腰梯形，得∠1=∠2=∠3，易得AD=AB=DC，設AD=x，則BC=40-3x，CF=20-2x，易證得Rt△CDF∽△CBD，得到CD²=CF•CB，即x²=（20-2x）（40-3x），解方程得x₁=20，x₂=8，20不和題意舍去，所以x=8，則AD=8，BC=40-3x=16，然后根據梯形的中位線的定義即可求解．
點評：本題考查了直角三角形相似的判定以及性質，有一組銳角對應相等的兩個直角三角形相似，等腰梯形的性質以及常作的輔助線和梯形中位線的定義．