Question

（2004•哈爾濱）如圖：⊙O₁與⊙O₂外切于點P，O₁O₂的延長線交⊙O₂于點A，AB切⊙O₁于點B，交⊙O₂于點C，BE是⊙O₁的直徑，過點B作BF_┴O₁P，垂足為F，延長BF交PE于點G．
（1）求證：PB²=PG•PE；
（2）若PF=，tan∠A=，求：O₁O₂的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證三角形BPG和EPB相似來求證，這兩個三角形中已知了一個公共角，根據等邊對等角和等角的余角相等可得出另一組對應角相等，得出兩三角形全等后即可得出本題所求的結論；
（2）本題的關鍵是讓PF和tan∠A聯系起來，∠A=∠EBG，那么可用圓O₁的半徑和PF的長表示出OF和BF根據勾股定理來求出O₁B的長，也就求出了AB的長，然后根據∠A的正弦值即可求出O₁P+AP的長，也就求出了AP即圓O₂的半徑的長，由此可得出O₁O₂的值．
解答：（1）證明：∵O₁P=O₁E，
∴∠E=∠O₁PE，
∵∠O₁PE+∠PGB=90°，∠PBG+∠PGB=90°，
∴∠PBG=∠O₁PG=∠E，
∵∠BPE=∠GPB，
∴△BPE∽△GPB，
∴=即：PB²=PG•PE；

（2）解：∵∠A+∠AO₁B=∠O₁BF+∠AO₁B=90°，
∴∠O₁BF=∠A，
∴tan∠O₁BF==，
∴O₁F=BF，
設O₁B=x，O₁F=x-，BF=O₁F=x-2，
在直角三角形O₁FB中，根據勾股定理有：
O₁F²+BF²=O₁B²，
（x-）²+（x-2）²=x²，
解得x₁=，x₂=，
x=＜，不合題意舍去．
因此O₁B=O₁P=．
在直角三角形AO₁B中，sin∠BAO₁=．
因此AO₁=，
AP=AO₁-O₁P=，因此圓O₂的半徑為，
因此O₁O₂=O₁P+O₂P==5．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，切線的性質以及解直角三角形的應用等知識點．