Question

16、一個直角三角形的三條邊的長均為整數，已知它的一條直角邊的長是18，那么另一條直角邊的長有

2

種可能，它的最大值是

80

．

Answer 1

分析：一條直角邊長為18，則另一條直角邊長可能有兩種情況，邊長為24或者80．最大值為80．

解答：解：設另一直角邊長和斜邊長分別是Z，X，顯然X＞Z＞0
根據直角三角形的邊長關系有：18²=X²-Z²
即：18²=（X+Z）（X-Z）
式中 X+Z 和 X-Z 分別是大于零的整數，且滿足：X+Z＞X-Z＞0
再來看看18²=324這個數的因數：1，2，3，4，6，9，18，36，54，81，108，162，324．
也就是 X-Z 和 X+Z 這兩個數必定取這些因數中的數！
由于 X-Z＜X+Z，它們可以取：
X-Z=1，X+Z=324，解這個聯立方程，得2X=325（舍去），
X-Z=2，X+Z=162，解這個聯立方程，得2X=164，X=82，Z=80．
X-Z=3，X+Z=108，解這個聯立方程，的2X=111（舍去）．
X-Z=4，X+Z=81，解這個聯立方程，得2X=85（舍去）．
X-Z=6，X+Z=54，解這個聯立方程，得2X=60，X=30，Z=24．
X-Z=9，X+Z=36，解這個聯立方程，得2X=45（舍去）．
X-Z=18，X+Z=18，已經與題意不相符了！
所以，共有2個整數解：
X=82，Z=80
X=30，Z=24
所以，另一條直角邊的長度只有（  2  ）種可能，其中最大值是 （ 80 ）．
故答案為 2，80．

點評：本題考查了在直角三角形中勾股定理的運用，本題中計算$sqrt{{x}^{2}+{18}^{2}}$也是整數是解題的關鍵．