Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線 y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，且點B的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，3）．
（1）求拋物線及直線AC的解析式；
（2）E、F是線段AC上的兩點，且∠AEO=∠ABC，過點F作與y軸平行的直線交拋物線于點M，交x軸于點N．當MF=DE時，在x軸上是否存在點P，使得以點P、A、F、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過B（1，0）、C（0，3）兩點，
∴解得
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3，
由y=-x²-2x+3可得A點坐標為（-3，0），
設直線AC的解析式為y=kx+n，
∴，
解得
∴直線AC的解析式為y=x+3；

（2）∵OA=OC=3，OB=1，
∴△AOC是等腰直角三角形，AC=，AB=4，
∴∠ECO=45°，
∵∠AEO=∠ABC，∠EAO=∠BAC，
∴△AEO∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=．
∴CE=AC-AE=-=，
過點E作EH⊥y軸于H，
可得EH=CH=1，OH=2，
∴E點的坐標為（-1，2），
∵拋物線y=-x²-2x+3頂點D的坐標為（-1，4），
∴ED=2，
∴MF=ED=2，
∵F在線段AC上，M在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴設F點的坐標為（x，x+3），M點的坐標為（x，-x²-2x+3），
∴-x²-2x+3-（x+3）=2，
解得x₁=-2，x₂=-1（不合題意，舍去），
∴F點的坐標為（-2，1），
∴FN=NA=1，
在x軸上存在點P，使得以點P、A、F、M為頂點的四邊形是梯形．
當FP∥MA時，可得．
∴．
∴．
∴P點的坐標為（-，0）．
當MP∥FA時，可得．
∴PN=3．
∴P點的坐標為（-5，0），
∴在x軸上存在點P使得以點P、A、F、M為頂點的四邊形是梯形，
點P的坐標為（-，0）或（-5，0）．
分析：（1）將B（1，0）、C（0，3）兩點坐標代入拋物線y=-x²+bx+c中，可求拋物線解析式，用拋物線解析式可求A點坐標，設直線AC的解析式為y=kx+n，將A、C兩點坐標代入可求直線AC的解析式；
（2）由∠AEO=∠ABC，∠EAO=∠BAC，可證△AEO∽△ABC，利用對應邊的比線段可求AE，由CE=AC-AE可求CE，過點E作EH⊥y軸于H，則△CEH為等腰直角三角形，由此可求E（-1，2），而D（-1，4），故MF=DE=2，由MN∥y軸，F在線段AC上，M在拋物線y=-x²-2x+3上，可設F點的坐標為（x，x+3），M點的坐標為（x，-x²-2x+3），根據MF=2列方程，得-x²-2x+3-（x+3）=2，由此可求F、M、N三點的坐標．在x軸上存在點P，使得以點P、A、F、M為頂點的四邊形是梯形，分為FP∥MA，MP∥FA兩種情況，利用相似比分別求出線段PN的長，從而求出P點坐標．
點評：此題考查了直線、拋物線解析式的確定，梯形、相似三角形的判定與性質等重要知識點，同時用到了分類討論的數學思想，難點在于形數結合，考慮問題要全面，做到不重不漏．