Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點D是AB的中點，DE⊥BC，垂足為點E，連接CD．
（1）如圖1，DE與BC的數量關系是　 　；

（2）如圖2，若P是線段CB上一動點（點P不與點B、C重合），連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉60°，得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）若點P是線段CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，請在圖3中補全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數量關系．

Answer 1

解：（1）DE=BC。
（2）根據旋轉的性質得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，根據“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；
（3）補全圖形如圖，DE、BF、BP三者之間的數量關系為BF﹣BP=DE。

試題分析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°。
∵點D是AB的中點，∴DB=DC，∴△DCB為等邊三角形。
∵DE⊥BC，∴DE=BC。
（2）根據旋轉的性質得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，根據“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE；
BF+BP=DE。證明如下：
∵線段DP繞點D逆時針旋轉60°，得到線段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF。
∵∠CDB=60°，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB。，∴∠CDP=∠BDF。
在△DCP和△DBF中，∵DC=DB，∠CDP=∠BDF，DP=DF，
∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP=BF。
∵CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC。
∵由（1）DE=BC，∴BC=DE。∴BF+BP=DE。
（3）與（2）一樣可證明△DCP≌△DBF，∴CP=BF。
∵CP=BC+BP，∴BF﹣BP=BC=DE。　
補全圖形如圖，DE、BF、BP三者之間的數量關系為BF﹣BP=DE。