Question

已知：關于x的一元二次方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0①。
（1）求證：方程①有兩個實數根；
（2）若m-n-1=0，求證方程①有一個實數根為1。
（3）在（2）的條件下，設方程①的另一個根為a，當x=2時，關于m 的函數y₁=nx+am與y₂=x²+a（n-2m）x+m²-mn的圖象交于點A、B（點A在點B的左側），平行于y軸的直線l與y₁、 y₂的圖象分別交于點C、D，當l沿AB由點A平移到點B時，求這個過程中線段CD的最大值。

Answer 1

解：（1）△=（n-2m）2-4（m2-mn）=n2 ∵n2≥0， ∴△≥0， ∴方程①有兩個實數根； （2）由m-n-1=0，得m-n=1， 當x=1時， 等號左邊=1+n-2m+m2-mn=1+n-2m+m（m-n）=1+n-2m+m=1+n-m=0， 等號右邊=0， ∴左邊=右邊， ∴x=1是方程①的一個實數根；
（3）解：由求根公式，得x= ∴x=m或x-=m-n， ∵m-n-10， ∴m-n=1，n=m-1， ∴a=m， 當x=2時，y1=2n+m2=2（m-1）+ m2=m2+2m-2， y2=22+2m（n-m-m）+m（m-n）= 4+2m（-l-m）+m=-2m2-m+ 4， 如圖，當l沿AB由點A平移到點B 時， CD=y2-y1=3m2-3m+6=-3（m+）2+ 由y1=y2，得m2+2m-2=-2m2-m+4， 解得m=-2或m=1 ∴mA=-2，mB=1 -2<-<1， ∴當m=-時，CD取得最大值。