Question

已知p、g、

2q-1

p

、

2p-1

q

都是整數，且p＞1，q＞1．求p+q的值．

Answer 1

分析：此題運用假設法，如設若

2q-1

p

≥2，

2p-1

q

≥2，則2q-1＞=2p，2p-1＞=2q，兩式相加得 2p+2q-2≥2p+2q，顯然矛盾，可得出故

2q-1

p

，

2p-1

q

至少有一個小于2，再假設

2q-1

p

＜2，根據

2q-1

p

是整數，且p＞1 q＞1即可求出p、q的值，再由q＞1即可得出q=3 p=5，進而可得出結論．

解答：解：若

2q-1

p

≥2，

2p-1

q

≥2，則2q-1≥2p，2p-1≥2q，
兩式相加得 2p+2q-2≥2p+2q． 顯然矛盾，
故

2q-1

p

，

2p-1

q

至少有一個小于2．
設

2q-1

p

＜2，因為

2q-1

p

是整數，且p＞1 q＞1，
所以

2q-1

p

=1，即2q-1=p．
又因為

2p-1

q

=

4q-3

q

是整數，即4-

3

q

是整數，
所以q=1或q=3．
又因為q＞1，所以q=3 p=5，則q+p=8．
故答案為：8．

點評：本題考查的是整數問題的綜合運用，解答此題的關鍵是利用反證法假設

2q-1

p

≥2，

2p-1

q

≥2，再根據2q-1≥2p，2p-1≥2q即可得出與已知相矛盾的結論，再設

2q-1

p

＜2，由不等式的基本性質及已知條件即可得出結論．