Question

已知拋物線經過A（2，0）．設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．
（1）求b的值，求出點P、點B的坐標；
（2）如圖，在直線 y=x上是否存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，使△AMP≌△AMB？如果存在，試舉例驗證你的猜想；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線經過A（2，0），將A點坐標代入解析式即可b的值，從而得到H二次函數解析式，配方后可得頂點坐標，令y=0解方程可得B點坐標；
（2）求出直線PB的解析式，由于該直線與OD的比例系數相同，故得到PB∥OD
（3）過點P作x軸的垂線，垂足為C，證出△APB是等邊三角形，作∠PAB的平分線交拋物線于M點，連接PM，BM，由AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP得到△AMP≌△AMB．
可見，存在點M，使△AMP≌△AMB．
解答：解：（1）由于拋物線經過A（2，0），
所以，
解得．
所以拋物線的解析式為．（*）
將（*）式配方，得，
所以頂點P的坐標為（4，-2），
令y=0，得，
解得x₁=2，x₂=6．所以點B的坐標是（6，0）．

（2）在直線 y=x上存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形．
理由如下：
設直線PB的解析式為y=kx+b，把B（6，0），P（4，-2）分別代入，得
，
解得，
所以直線PB的解析式為．
又因為直線OD的解析式為，
所以直線PB∥OD．
設直線OP的解析式為y=mx，
把P（4，-2）代入，得，
解得．如果OP∥BD，那么四邊形OPBD為平行四邊形．
設直線BD的解析式為，
將B（6，0）代入，得0=，
所以所以直線BD的解析式為，
解方程組，
得，
所以D點的坐標為（2，2）．

（3）符合條件的點M存在．驗證如下：
過點P作x軸的垂線，垂足為C，則PC=2，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，
所以△APB是等邊三角形，
只要作∠PAB的平分線交拋物線于M點，
連接PM，BM，由于AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP，
可得△AMP≌△AMB．
因此即存在這樣的點M，使△AMP≌△AMB．
點評：本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、一次函數的性質、平行四邊形的判定、全等三角形的判定等知識，綜合性很強，旨在考查同學們的邏輯思維能力、綜合運用能力．