Question

【題目】在平面直角坐標系中，如果點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為和諧點．例如點（1，1），（-，-），（-，-），…，都是和諧點．
（1）分別判斷函數y=-2x+1和y=x2+1的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標；
（2）若二次函數y=ax2+4x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點（，），且當0≤x≤m時，函數y=ax2+4x+c-（a≠0）的最小值為-3，最大值為1，求m的取值范圍．
（3）直線l：y=kx+2經過和諧點P，與x軸交于點D，與反比例函數G：y=的圖象交于M，N兩點（點M在點N的左側），若點P的橫坐標為1，且DM+DN＜3，請直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）不存在；（2）2≤m≤4；（3）-＜n＜0或0＜n＜1.

【解析】

（1）根據和諧點的橫坐標與縱坐標相同，可得關于a的方程，根據解方程，可得答案．

（2）根據和諧點的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由題意，△=32-4ac=0，即4ac=9，方程的根為，從而求得a=-1，c＝，所以函數y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根據函數解析式求得頂點坐標與縱坐標的交點坐標，根據y的取值，即可確定x的取值范圍．

（3）根據題意得出當n＞0時，以及當n＜0時，分別利用數形結合得出n的取值．

（1）存在，

令-2x+1=x，解得x＝，

∴函數y=-2x+1的圖象上有一個和諧點（，）；

令x2+1=x，即x2-x+1=0，

∵根的判別式△=（-1）2-4×1×1=-3＜0，

∴方程x2-x+1=0無實數根，

∴函數y=x2+1的圖象上不存在和諧點．

（2）令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，

由題意，△=32-4ac=0，即4ac=9，

又方程的根為，

解得a=-1，c＝．

故函數y＝ax2+4x+c，即y=-x2+4x-3，

如圖1，該函數圖象頂點為（2，1），與y軸交點為（0，-3），由對稱性，該函數圖象也經過點（4，-3）．

由于函數圖象在對稱軸x=2左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，且當0≤x≤m時，函數y=-x2+4x-3的最小值為-3，最大值為1，

∴2≤m≤4．

（3）＜n＜0，或0＜n＜1．

∵y=kx+2經過和諧點P，

∴y=x，

∴x=kx+2，

∴點P的橫坐標為1，

∴k=-1，

∴直線l為：y=-x+2，

分兩種情況：

①如圖2，當n＞0時，

∵y=-x+2，與x軸交于點D（2，0），與y軸交于點F（0，2），

∴DF=2，

∴DM+DN＜3，

∴只要y=-x+2與y=有交點坐標即可，

∴-x+2=，

整理得：x2-2x+n=0，

∴b2-4ac＞0，

∴4-4n＞0，

解得：n＜1，

則0＜n＜1；

②如圖3，

當n＜0時，當DM+DN=3，

則DN=FM=，

∵y=-x+2，與x軸交于點D（2，0），與y軸交于點F（0，2），

∴可求出M（-，），

則xy=n=-，

則-＜n＜0．

綜上，當-＜n＜0或0＜n＜1時，反比例函數G2的圖象與直線l有兩個公共點M，N，且DM+DN＜3．