Question

26、在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點O，OD⊥BC與點D，當BC=AC時，如圖①易證：AC+BC-AB=2DO．

（1）當BC≠AC時，如圖②，線段AC、BC、AB、OD之間有怎樣的等量關系，寫出你的猜想并給與證明；
（2）當BC≠AC時，∠ABC的外角平分線與∠ACB的平分線相交于點O，OD⊥BC與點D，如圖③線段AC、BC、AB、OD之間有怎樣的等量關系寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析：（1）應猜測和所給結論是相同的．做角平分線上的點到角的兩邊的距離來構造全等三角形把所求各邊進行轉移．
（2）輔助線方法和證明方法如（1），但AC+BC很明顯將小于2DO，那么應是加上AB后等于2DO．

解答：解：（1）AC+BC-AB=2OD．（2分）
如圖：過點O分別做OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，連接OA，則∠OAF=∠OAE，
∵∠OBD=∠OBF，∠OCD=∠OCE，
∴OD=OE=OF，
∴△OBD≌△OBF（SAS），△OEA≌△OFA（SAS），
∴BD=BF，（1分）
AE=AF，（1分）
∵∠ACB=∠ODC=∠OEC=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
又∵OD=OE，
∴四邊形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OD，（1分）
∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-（BD+BF）=AF+OD+BF+OD-BF-AF=2OD． （1分）

（2）AC+BC+AB=2DO．

點評：此題運用到一常識：有角平分線的時，做角平分線上的點到角的兩邊的距離是常用輔助線做法，需注意同一類型題的轉換證明方法和過程基本一致．