Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4cm，實驗操作：把一等腰直角三角尺45°角的頂點（記為點D），放在BC邊上滑動（不與B，C重合），讓該角的一邊始終過點A，另一邊交AC于點E，選取運動過程中的兩個瞬間，用量角器分別測出∠BDA與∠CED的大小，并填入下表：

	∠BDA	∠CED
第一次測量結果
第二次測量結果

探索：（1）觀察實驗結果，猜想∠BDA與∠CED的大小有何關系？并證明你的結論；
（2）設BD=x，AE=y，試求出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當點D在BC邊上滑動時，△ADE能否成為等腰三角形？若能，求出點D的位置；若不能，請說明理由．（圖1供實驗操作用，圖2備用）

Answer 1

分析：（1）由三角形的外角的定義、三角形的內角和、等腰直角三角形的性質解決第一問；
（2）證明△ABD和△DCE相似，利用三角形相似的性質可以求出y關于x的函數關系式；
（3）利用△ABD和△DCE始終相似，分AD=AE，AD=DE，AE=DE三種情況討論，問題得以解決．

解答：解：（1）猜想∠BDA=∠CED．
證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠2，
∴∠1=∠2，
∵∠BDA=180°-∠1-∠B，∠CED=180°-∠2-∠C，
∴∠CED=∠BDA；

（2）由（1）知：∠BDA=∠CED，∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴

BD

CE

=

AB

DC

，
即

x

4-y

=

4

4 2 -x

，
∴y=

1

4

x2-

2

x+4（0＜x＜4

2

）．

（3）假設能，分三種情況討論：
①當AD=AE時，∠AED=∠ADE=45°，所以∠DAE=90°，
此時點D與B重合，這與已知矛盾，所以這種情況不存在；
②當AD=DE時，由△ABD∽△DCE得，

AD

DE

=

BD

CE

=1，
∴

x

4-y

=1，
即4-（

1

4

x2-

2

x+4）=x，
解得x₁=4

2

-4，x₂=0（舍去），
即BD=4

2

-4；
③當AE=DE時，∠DAE=∠ADE=45°，又∠BAC=90°，
∴∠1=∠DAE=45°，
∴BD=

1

2

BC=2

2

；
綜上所知當BD=4

2

-4或2

2

時，△ADE能成為等腰三角形．

點評：本題考查了三角形的外角的定義、三角形的內角和、等腰直角三角形的性質、三角形相似的判定與性質，運用等腰三角形的性質滲透分類討論思想．