Question

已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連結DE，DE所在直線交直線BC于點M.

請探究：

（1）　　　 如圖①，當點E在線段AC上，點D在AB延長線上時，若BD＝CE，

請判斷線段MD和線段ME的數量關系，并證明你的結論；

（2）　　　 如圖②，當點E在CA的延長線上，點D在AB的延長線上時，若BD＝CE，

則（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由。

（3）如圖③，當點E在CA的延長線上，點D在線段AB上（點D不與A、B重合），DE所在直線與直線BC交于點M，若CE＝mBD，（m＞1），請你判斷線段MD與線段ME的數量關系，并說明理由。

Answer 1

解：（1）DM＝EM；

證明：過點E作EF∥AB交BC于點F，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C；

又∵EF∥AB，∴∠ABC＝∠EFC，∴∠EFC＝∠C，

∴EF＝EC．又∵BD＝EC，∴EF＝BD．

又∵EF∥AB，∴∠ADM＝∠MEF．

在△DBM和△EFM中，∠BDE＝∠FEM，∠BMD＝∠FME，BD＝EF

∴△DBM≌△EFM，∴DM＝EM．……………..3分

（2）成立；

證明：過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C；

又∵EF∥AB，∴∠ABC＝∠EFC，

∴∠EFC＝∠C，∴EF＝EC．

又∵BD＝EC，∴EF＝BD．

又∵EF∥AB，∴∠ADM＝∠MEF．

在△DBM和△EFM中，∠BDE＝∠FEM，∠BMD＝∠FME，BD＝EF

∴△DBM≌△EFM；∴DM＝EM；……………..7分

（3）       MD＝ME．

過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，

由（2）可知EC=EF

∴EC:BD=EF:BD=EM:DM=m

∴EM=mDM………….9分