Question

(本題12分)△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，關于x的方程x²－2ax＋b²=0的兩根為x₁、x₂，x軸上兩點M、N的坐標分別為（x₁，0）、（x₂，0），其中M的坐標是(a＋c，0)；P是y軸上一點，點。

【小題1】(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
【小題2】(2)若S_△MNP＝3S_△NOP， ①求sinB的值； ②判斷△ABC的三邊長能否取一組適當的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．

Answer 1

【小題1】解：(1)證明：∵點
∴               1分   ∴  ∴．    1分
由勾股定理的逆定理得：
為直角三角形且∠A＝90°
【小題2】(2)解：①如圖所示；
∵
∴  即       1分
又 ∴ 
∴，是方程x²－2ax＋b²＝0的兩根
∴   ∴         1分
由(1)知：在中，∠A＝90°
由勾股定理得     ∴sinB＝         1分
② 能               1分
過D作DE⊥x軸于點   則NE＝EM  DN＝DM
要使為等腰直角三角形，只須ED＝MN＝EM
∵      ∴  
∴  又c＞0，∴c＝1               1分
由于c＝a  b＝a  ∴a＝ b＝              1分
∴當a＝，b＝，c＝1時，為等腰直角三角形   解析:
略