Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC
（1）若添加條件：AB=AD，BD平分∠ABC，判斷結論“四邊形ABCD是菱形”是否正確？若正確請加以證明；若不正確，請舉出一個反例說明；
（2）若BC=3AD，M是AB的中點，MC交對角線BD于O，已知：OM=2，求OC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）不正確，等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD，AD∥BC，AD平分∠ABC，BD⊥CD，就符合題意；
（2）首先過點D作DF∥AB，分別交CM，BC于點E，F，易得△CEF∽△CBM，△DBM∽△ODE，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．
解答：解：（1）不正確．
如圖，等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD，AD∥BC，AD平分∠ABC，BD⊥CD．

（2）過點D作DF∥AB，分別交CM，BC于點E，F，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB=DF，BF=AD，
∵BC=3AD，
∴BC=3BF，
∵AB∥DF，
∴△CEF∽△CBM，△OBM∽△ODE，
∴，，
∵AM=BM，
∴EF：AB=1：3，
∴BM：DE=3：4，
∴OE=OM=，
∴EM=，
∴CM=3EM=14，
∴OC=CM-OM=12．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰梯形的性質以及菱形的判定．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．