Question

已知：如圖，∠B=90°，AB∥DF，AB=4cm，BD=10cm，點C是線段BD上一動點，點E是直線DF上一動點，且始終保持AC⊥CE．

（1）試說明：∠ACB =∠CED

（2）若AC=CE ，試求DE的長

（3）在線段BD的延長線上，是否存在點C，使得AC=CE，若存在，請求出DE的長及△AEC的面積；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）證明見解析；

DE=6cm；

存在，DE=14cm；S△ACE=106.

【解析】

試題分析：（1）由已知可得∠CED+∠DCE=90°，∠ACB+∠DCE=90°，則可得∠ACB=∠CED；

（2）通過證明△ABC≌CDE即可得證；

（3）存在，通過證明△ABC≌CDE即可得.

試題解析：（1）∵AB//DF，∴∠B+∠D=180°，∵∠B=90°，∴∠D=90°，∴∠CED+∠DCE=90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∴∠ACB=∠CED；

（2）∵∠B=∠D，∠ACB=∠CED，AC=CE，∴△ABC≌CDE，∴CD=AB=4，DE=BC，∵BD=10，∴BC=BD-CD=6，即DE=6cm；

（3）存在，如圖所示，

∵∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，又∵∠B=∠EDC，AC=CE，∴△ABC≌CDE，∴CD=AB=4，DE=BC，∵BD=10，∴BC=BD+CD=14，即DE=14cm；

∴AC==2，∴S△ACE=AC2=106.

考點：1、三角形全等的判定與性質；2、勾股定理.