Question

如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個三角形（如圖2所示）．將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B（AB）方向平移（點A、D₁、D₂、B始終在同一直線上），當點A與點B重合時，停止平移．設平移的速度是1cm/秒，平移的時間為x（秒），△AC₁D₁與△BC₂D₂重疊部分面積為y（cm²）．
（1）求CD的長和斜邊上的高CH；
（2）在平移過程中（如圖3），設C₁D₁與BC₂交于點E，AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點F、P．那么四邊形FD₂D₁E是否可能是菱形？為什么？如果可能，請求出相應的D₁E=D₂F的值；
（3）請寫出y與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍；
（4）是否存在這樣的x的值，使重疊部分面積為3cm²？若存在，求出相應的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據勾股定理求出AB的值，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以求出CD的值，根據三角形的面積公式就可以求出CH的值；
（2）根據菱形的性質就可以得出當D₂F=D₂D₁時就可以求出D₁E=D₂F的值；
（3）分情況討論，如圖3，當0≤x≤5時，如圖4，當5＜x≤10時，由三角形的面積公式就可以求出結論；
（4）當y=3時分別代入（3）的解析式就可以求出x的值．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴在直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AB=10．
∵D是AB的中點，
∴CD=AB=5．
∵AC•BC=AB•CH，
∴×6×8=CH，
∴CH=4.8；

（2）可能，當D₂F=D₂D₁時，四邊形FD₂D₁E是菱形．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F，同理：BD₁=D₁E，
∴AD₂=BD₁，
∴D₁E=D₂F，
∵D₁E∥D₂F，
∴四邊形FD₂D₁E是平行四邊形．
∵D₂F=D₂D₁，
∴平行四邊形FD₂D₁E是菱形．
∵AD₂=x，
∴D₂D₁=5-x，
∴x=5-x，
∴x=2.5，
∴D₁E=D₂F=2.5；

（3）如圖3，當0≤x≤5時，
∵D₂D₁=x
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，
∴C₂F=C₁E=x．
∵在△ABC中，sin∠CDB=，
∴sin∠ED₁B=．
設△BED₁的BD₁邊上的高為h，
∴h=，
∴S_△BD1E=×BD₁×h=．
∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90°．
∵∠C₂=∠B，
∴sin∠B=，cos∠B=，
∴PC₂=x，PF=x，
∴S_△FC2P==x²．
∴y=S_△D2C2B-S_△BD1E-S_△ABC--=x²，
∴y=-x²+x；
如圖4，當5＜x≤10時，
∵D2D1=x，BD2=AD1=5，
∴BD1=x-5，
∴AB=5-（x-5）=10-x．
∵sin∠PBA==，cos∠PBA==，
∴PA=，PB=（10-x），
∴y=×PA×PB=××（10-x），
y=（10-x）²．
綜上可得：y=
（4）當0≤x≤5時，
-x²+x=3，
解得：x₁=＞5（舍去），x₂=；
當5＜x≤10時，
（10-x）²=3，
解得：x₁=10+＞（舍去），x₂=10-；
∴當x=或x=10-時，重疊部分的面積等于3．
點評：本題考查了勾股定理的運用，直角三角形的性質的運用，菱形的判定及性質的運用，三角形面積公式的運用，三角函數的運用，分類討論思想的運用，解答時求出函數的解析式是解答本題的關鍵．