Question

如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）延長BE至Q，P為BQ上一點，連接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8時，求PQ的長．

Answer 1

分析：（1）由△ABC與△DCE是等邊三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可證得∠ACD=∠BCE，所以根據SAS即可證得△ACD≌△BCE；
（2）首先過點C作CH⊥BQ于H，由等邊三角形的性質，即可求得∠DAC=30°，則根據等腰三角形與直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的長．

解答：（1）證明：∵△ABC與△DCE是等邊三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：過點C作CH⊥BQ于H，
∵△ABC是等邊三角形，AO是角平分線，
∴∠DAC=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠PBC=∠DAC=30°，
∴在Rt△BHC中，CH=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，
∴PH=QH=3，
∴PQ=6．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形、等邊三角形以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，但難度不大，解題時要注意數形結合思想的應用．