Question

如圖，△ABC內接與⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于AC點E，交PC于點F，連接AF．

（1）判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為4，AF=3，求AC的長．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）AF與圓O的相切。理由為：

如圖，連接OC，

∵PC為圓O切線，∴CP⊥OC。

∴∠OCP=90°。

∵OF∥BC，

∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB。

∵OC=OB，∴∠OCB=∠B。∴∠AOF=∠COF。

∵在△AOF和△COF中，OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，

∴△AOF≌△COF（SAS）。∴∠OAF=∠OCF=90°。

∴AF為圓O的切線，即AF與⊙O的位置關系是相切。

（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF。

∵OA=OC，∴E為AC中點，即AE=CE=AC，OE⊥AC。

∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根據勾股定理得：OF=5。

∵S_△AOF=•OA•AF=•OF•AE，∴AE=。

∴AC=2AE=。

【解析】

試題分析：（1）AF與圓O的相切，理由為：連接OC，由PC為圓O的切線，利用切線的性質得到CP垂直于OC，由OF與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等，同位角相等，分別得到兩對角相等，根據OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，再由OC=OA，OF為公共邊，利用SAS得出△AOF與△COF全等，由全等三角形的對應角相等及垂直定義得到AF垂直于OA，即可得證。

（2）由AF垂直于OA，在RtAOF中，由OA與AF的長，利用勾股定理求出OF的長，而OA=OC，OF為角平分線，利用三線合一得到E為AC中點，OE垂直于AC，利用面積法求出AE的長，即可確定出AC的長。