Question

（2013•鐵嶺）如圖，△ABC內接與⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于AC點E，交PC于點F，連接AF．
（1）判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為4，AF=3，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）AF為為圓O的切線，理由為：連接OC，由PC為圓O的切線，利用切線的性質得到CP垂直于OC，由OF與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等，同位角相等，分別得到兩對角相等，根據OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，再由OC=OA，OF為公共邊，利用SAS得出三角形AOF與三角形COF全等，由全等三角形的對應角相等及垂直定義得到AF垂直于OA，即可得證；
（2）由AF垂直于OA，在直角三角形AOF中，由OA與AF的長，利用勾股定理求出OF的長，而OA=OC，OF為角平分線，利用三線合一得到E為AC中點，OE垂直于AC，利用面積法求出AE的長，即可確定出AC的長．

解答：解：（1）AF為圓O的切線，理由為：
連接OC，
∵PC為圓O切線，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠AOF=∠COF，
∵在△AOF和△COF中，

OA=OC ∠AOF=∠COF OF=OF

，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
則AF為圓O的切線；

（2）∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF=∠COF，
∵OA=OC，
∴E為AC中點，即AE=CE=

1

2

AC，OE⊥AC，
∵OA⊥AF，
∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，
根據勾股定理得：OF=5，
∵S_△AOF=

1

2

•OA•AF=

1

2

•OF•AE，
∴AE=

12

5

，
則AC=2AE=

24

5

．

點評：此題考查了切線的判定與性質，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形的面積求法，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．