Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，點P從點A出發，沿AB邊以1厘米/秒的速度向點B勻速移動；點Q從點B出發，沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C勻速移動．如果P、Q同時出發，當Q點到達C點時，P點隨之停止運動．用t（秒）表示移動的時間（0≤t≤6）．
（1）當PQ∥AC時，求t的值；
（2）當t為何值時，P、B、Q三點構成直角三角形；
（3）當t為何值時，△PBQ的面積等于16厘米²．

Answer 1

分析：（1）根據平行可以得到相似，然后根據相似三角形對應邊的比等于相似比求得t值即可；
（2）分∠PQB=90°和∠QPB=90°兩種情況分類討論即可；
（3）過點A作AD⊥BC于D，過點P作PE⊥BC于E，利用相似三角形求得相應的結論即可．

解答：解：（1）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

，即 

10-t

10

=

2t

12

，
解得 t=

15

4

（秒）…（4分）

（2）過點A作AD⊥BC于D，如圖1．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=

1

2

BC=6．
∵∠B≠90°，
∴P、B、Q三點構成直角三角形情況有兩種：
①∠PQB=90°，即PQ∥AD．
∴

BP

BA

=

BQ

BD

，即 

10-t

10

=

2t

6

，解得 t=

30

13

（秒）…（8分）
②∠QPB=90°．而∠ADB=90°，∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BDA，
∴

BP

BD

=

BQ

BA

，即 

10-t

6

=

2t

10

，解得 t=

50

11

（秒）．
∴由①、②知，當t為

30

13

秒或

50

11

秒時，P、B、Q三點構成直角三角形…（12分）

（3）過點A作AD⊥BC于D，過點P作PE⊥BC于E，如圖2．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=

1

2

BC=6．
在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8．
∵PE∥AD．
∴△BPE∽△BAD，
∴

BP

BA

=

PE

AD

，即 

10-t

10

=

PE

8

，解得 PE=

4

5

（10-t）．
S_△PBQ=

1

2

BQ•PE=16．即 

1

2

•2t•

4

5

（10-t）=16．…（10分）
整理，得t²-10t+20=0．解這個方程，得t₁=5+

5

，t₂=5-

5

．
∵0≤t≤6，∴t₁=5+

5

不符合題意，舍去，只取t₂=5-

5

．
∴當t為（5-

5

）秒時，△PBQ的面積等于16厘米；

點評：本題考查了相似形的綜合知識：
①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對應邊成比例，對應角相等．