Question

如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，點P是底邊AC上一個動點，M、N分別是AB、BC的中點，若PM+PN的最小值為4，則△ABC的周長是

 

．

Answer 1

分析：本題首先要明確P點在何處，通過M關于AC的對稱點M′，根據勾股定理就可求出MN的長，根據中位線的性質及三角函數分別求出AB、BC、AC的長，從而得到△ABC的周長．

解答：解：作M點關于AC的對稱點M′，連接M'N，則與AC的交點即是P點的位置，
∵M，N分別是AB，BC的中點，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN∥AC，
∴

PM′

PN

=

KM′

KM

=1，
∴PM′=PN，
即：當PM+PN最小時P在AC的中點，
∴MN=

1

2

AC
∴PM=PN=2，MN=2

3

∴AC=4

3

，
AB=BC=2PM=2PN=4，
∴△ABC的周長為：4+4+4

3

=8+4

3

．
故答案為：8+4

3

．

點評：本題考查等腰三角形的性質和軸對稱及三角函數等知識的綜合應用．正確確定P點的位置是解題的關鍵．