Question

如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點B，C，D在一條直線上，點M是AE的中點，BC=3，CD=1．
（1）求證：tan∠AEC=；
（2）請探究BM與DM的數量關系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，易證得∠ACE=90°，△ABC∽△CDE，即可得，又由在Rt△ACE中，tan∠AEC=，即可證得tan∠AEC=；
（2）首先過點M作MN⊥BD，垂足為N，易得AB∥MN∥ED，又由點M是AE的中點，易得N是BD的中點，然后利用線段垂直平分線的性質，即可證得BM=DM．
解答：（1）證明：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE，
∴，
∵在Rt△ACE中，tan∠AEC=，
∴tan∠AEC=；

（2）BM=DM．
證明：過點M作MN⊥BD，垂足為N，
∵∠ABC=∠EDC=90°，
∴AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥MN∥ED，
∴AM：EM=BN：DN，
∵點M是AE的中點，
即AM=EM，
∴BN=DN，
∴BM=DM．
點評：此題考查了等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理、線段垂直平分線的性質以及三角函數的定義．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用，注意掌握輔助線的作法．