Question

（1）動手操作：
如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點c'處，折痕為EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度數為______．
（2）觀察發現：
小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖③）．小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．

（3）實踐與運用：
將矩形紙片ABCD 按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF，折痕與AD邊交于點E，與BC邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ（如圖④），求∠MNF的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形的兩個銳角互余求得∠AEB=70°，根據折疊重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根據平行線的性質得到∠EFC=125°，再根據折疊的性質得到∠EFC′=∠EFC=125°；
（2）根據第一次折疊，得∠BAD=∠CAD；根據第二次折疊，得EF垂直平分AD，根據等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，則△AEF是等腰三角形；
（3）由題意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由對稱性可知，MF=PF，進而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．
解答：解：（1）∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°，
∴∠BED=110°，
根據折疊重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
∵AD∥BC，
∴∠EFC=125°，
再根據折疊的性質得到∠EFC′=∠EFC=125°．
故答案為125°；


（2）同意．
如圖，設AD與EF交于點G．
由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
由折疊知，∠AGE=∠DGE=90°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．
所以AE=AF，
即△AEF為等腰三角形．

（3）由題意得出：
∠NMF=∠AMN=∠MNF，
∴MF=NF，由對稱性可知，
MF=PF，
∴NF=PF，
而由題意得出：MP=MN，MF=MF，
在△MNF和△MPF中，
∵，
∴△MNF≌△MPF（SSS），
∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，
即3∠MNF=180°，
∴∠MNF=60°，
點評：此題的綜合性較強，綜合運用了折疊的性質、等邊三角形的性質以及勾股定理．