Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，過點D作線段DF被BC垂直平分，點E為垂足．連接BF、CF、AC．
（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）在DE²=BE•CE時，四邊形ABFC是矩形．請說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵BC垂直平分DF，
∴CD=CF，
∴∠DCE=∠FCE，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCE，AB=CF，
∴∠ABC=∠FCE，
∴AB∥CF，
∴四邊形ABFC是平行四邊形；

（2）∵BC垂直平分DF，
∴DE=EF，∠BEF=∠FEC=90°，
∵DE²=BE•CE，
∴EF²=BE•CE，
∴，
∴△BEF∽△FEC，
∴∠EBF=∠EFC，
∵∠EBF+∠BFE=90°，
∴∠EFC+∠BFE=90°，
即∠BFC=90°，
∵四邊形ABFC是平行四邊形，
∴四邊形ABFC是矩形．
分析：（1）由BC垂直平分DF與梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，易證得AB∥CF，AB=CF，即可證得四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）由DE²=BE•CE，可得EF²=BE•CE，即可證得△BEF∽△FEC，則可得∠BFC=90°，即可證得四邊形ABFC是矩形．
點評：此題考查了等腰梯形的性質、平行四邊形的判定與性質、矩形的判定以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．