Question

【題目】如圖，某市郊外景區內一條筆直的公路a經過三個景點A、B、C，景區管委會又開發了風景優美的景點D，經測量景點D位于景點A的北偏東30°方向8km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75°方向上，已知AB=5km．

（1）景區管委會準備由景點D向公路a修建一條距離最短的公路，不考慮其它因素，求出這條公路的長；（結果精確到0.1km）

（2）求景點C與景點D之間的距離．（結果精確到1km）

（參考數據： =1.73， =2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73．）

Answer 1

【答案】（1）3.1km；（2）4km．

【解析】解：（1）如圖，過點D作DE⊥AC于點E，

過點A作AF⊥DB，交DB的延長線于點F，在Rt△DAF中，∠ADF=30°，

∴AF=AD=×8=4，∴DF=，

在Rt△ABF中BF==3，

∴BD=DF﹣BF=4﹣3，sin∠ABF=，

在Rt△DBE中，sin∠DBE=，∵∠ABF=∠DBE，∴sin∠DBE=，

∴DE=BDsin∠DBE=×（4﹣3）=≈3.1（km），

∴景點D向公路a修建的這條公路的長約是3.1km；

（2）由題意可知∠CDB=75°，

由（1）可知sin∠DBE==0.8，所以∠DBE=53°，

∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°，

在Rt△DCE中，sin∠DCE=，∴DC=≈4（km），

∴景點C與景點D之間的距離約為4km．