Question

（2013•紹興）若一個矩形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個矩形為方形，如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形．

（1）設a，b是方形的一組鄰邊長，寫出a，b的值（一組即可）．
（2）在△ABC中，將AB，AC分別五等分，連結兩邊對應的等分點，以這些連結線為一邊作矩形，使這些矩形的邊B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄的對邊分別在B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄，BC上，如圖2所示．
①若BC=25，BC邊上的高為20，判斷以B₁C₁為一邊的矩形是不是方形？為什么？
②若以B₃C₃為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上的高之比．

Answer 1

分析：（1）答案不唯一，根據已知舉出即可；
（2）①求出△ABC∽△AB₁C₁∽△AB₂C₂∽△AB₃C₃∽△AB₄C₄，推出

B1C1

BC

=

AE

AM

=

1

5

，

B2C2

BC

=

AH

AM

=

2

5

，

B3C3

BC

=

AG

AM

=

3

5

，

B4C4

BC

=

AN

AM

=

4

5

，求出B₁C₁=5，B₂C₂=10，B₃C₃=15，B₄C₄=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，B₁Q=B₂O=B₃Z=B₄K=4，根據已知判斷即可；
②設AM=h，根據△ABC∽△AB₃C₃，得出

B3C3

BC

=

AG

AM

=

3

5

，求出MN=GN=GH=HE=

1

5

h，分為兩種情況：當B₃C₃=2×

1

5

h，時，當B₃C₃=

1

2

×

1

5

h時，代入求出即可．

解答：解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；

（2）①以B₁C₁為一邊的矩形不是方形．
理由是：過A作AM⊥BC于M，交B₁C₁于E，交B₂C₂于H，交B₃C₃于G，交B₄C₄于N，則AM⊥B₄C₄，AM⊥B₃C₃，AM⊥B₂C₂，AM⊥B₁C₁，
∵由矩形的性質得：BC∥B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃∥B₄C₄，
∴△ABC∽△AB₁C₁∽△AB₂C₂∽△AB₃C₃∽△AB₄C₄，
∴

B1C1

BC

=

AE

AM

=

1

5

，

B2C2

BC

=

AH

AM

=

2

5

，

B3C3

BC

=

AG

AM

=

3

5

，

B4C4

BC

=

AN

AM

=

4

5

，
∵AM=20，BC=25，
∴B₁C₁=5，B₂C₂=10，B₃C₃=15，B₄C₄=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，
∴MN=GN=GH=HE=4，
∴B₁Q=B₂O=B₃Z=B₄K=4，
即B₁C₁≠2B₁Q，B₁Q≠2B₁C₁，
∴以B₁C₁為一邊的矩形不是方形；
②∵以B₃C₃為一邊的矩形為方形，設AM=h，
∴△ABC∽△AB₃C₃，
∴

B 3C3

BC

=

AG

AM

=

3

5

，
則AG=

3

5

h，
∴MN=GN=GH=HE=

1

5

h，
當B₃C₃=2×

1

5

h，時，

BC

AM

=

2

3

；
當B₃C₃=

1

2

×

1

5

h時，

BC

AM

=

1

6

．
綜合上述：BC與BC邊上的高之比是

2

3

或

1

6

．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定和矩形的性質的應用，注意：相似三角形的對應高的比等于相似比．