Question

深化理解（本小題滿分9分）

如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），A是軸上的一個動點，M是線段AC的中點.把線段AM進行以A為旋轉中心、向順時針方向旋轉90°的旋轉變換得到AB.過B作軸的垂線、過點C作軸的垂線，兩直線交于點D，直線DB交軸于一點E.

設A點的橫坐標為，

（1）若=3，則點B的坐標為   ▲   ，若=-3，，則點B的坐標為   ▲   ；

（2）若＞0，△BCD的面積為，則為何值時，？

（3）是否存在，使得以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求此時的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（5, 1.5  ） ，  （-1, -1.5  ）；（2）  （3），理由見解析

【解析】（1）（5, 1.5  ） ，  （-1, -1.5  ）；            

（2）①當時，如圖（1）

△AOC∽△BEA且相識比為  

求得點B的坐標為（，）         

∴ 

解得                         

②當時，如圖（2）

解得       

∴

 

（3）①當時，如圖（1）

若△AOC∽△CDB

∴  即：   

∴無解

若△AOC∽△BDC，同理，解得 

②當時，如圖（2）

若△AOC∽△CDB，

∴  即：

解得，取

若△AOC∽△BDC，同理，解得無解  

③當時，如圖（3）

若△AOC∽△CDB

∴  即：

解得   

若△AOC∽△BDC，同理，解得無解

④當時，如圖（4）

若△AOC∽△CDB

∴  即：  

∴無解 

若△AOC∽△BDC，同理，解得

∴

（1）根據勾股定理和對稱性求解

（2）求△BCD的面積時，可以CD為底、BD為高來解，那么表示出BD的長是關鍵；

Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例關系，即可通過相似三角形的對應邊成比例求出BE的長，進一步得到BD的長，在表達BD長時，應分兩種情況考慮：①B在線段DE上，②B在ED的延長線上．

（3）通過B點所在的不同位置，分四種情況解答