Question

如圖，拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）P是（1）中拋物線AB段上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△ACO相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點，代入三點可確定解析式．
（2）如圖，設P點的橫坐標為m，相應的可求出縱坐標，根據相似三角形的性質，對應邊成比例，可求出m的值，進而求出P的值．
（3）確定D點的橫坐標的取值范圍，求出△DCA的面積的函數式，根據取值范圍可確定最大值．

解答：解：（1）∵該拋物線過點C（0，-2），
∴可設該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，得

16a+4b-2=0 a+b-2=0.

（1分）
解得

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
∴此拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

5

2

x-2；（3分）

（2）存在．（4分）
如圖，設P點的橫坐標為m，
∵P是拋物線AB段上一動點，∴1＜m＜4，
則P點的縱坐標為-

1

2

m2+

5

2

m-2，
當1＜m＜4時，AM=4-m，PM=-

1

2

m2+

5

2

m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

時，△APM∽△ACO，
即4-m=2(-

1

2

m2+

5

2

m-2)．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），∴P（2，1）．如圖（5分）
②當

AM

PM

=

OC

OA

=

1

2

時，△APM∽△CAO，
即2(4-m)=-

1

2

m2+

5

2

m-2．
解得m₁=4，m₂=5（均不合題意，舍去）
∴當1＜m＜4時，P（2，1）．
綜上所述，符合條件的點P為（2，1）；
（3）如圖，設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為-

1

2

t²+

5

2

t-2．
過D作y軸的平行線交AC于E．
設直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標代入得：

4k+b=0 b=-2

，
解得：

k= 1 2 b=-2

，
∴直線AC的解析式為y=

1

2

x-2．
∴E點的坐標為（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=

1

2

DE•h+

1

2

DE•（4-h）=

1

2

DE•4，
∴S△DAC=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當t=2時，△DAC面積最大．
∴D（2，1）．

點評：本題考查二次函數的綜合運用，通過已知點來確定函數式，和通過相似三角形的性質確定點的坐標，以及通過函數式和取值范圍求得最大值．