Question

（2007•包頭）在下列四種邊長均為a的正多邊形中：
①正方形；②正五邊形；③正六邊形；④正八邊形；
能與邊長為a的正三角形作平面鑲嵌的正多邊形有（ ）
A．4種
B．3種
C．2種
D．1種

Answer 1

【答案】分析：分別求出各個正多邊形的每個內角的度數，再根據圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角進行判斷即可．
解答：解：正三角形的每個內角是60°，正方形的每個內角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴①能；
正三角形的每個內角是60°，正五邊形每個內角是180°-360°÷5=108°，60m+108n=360°，m=6-n，顯然n取任何正整數時，m不能得正整數，故②不能鋪滿；
正六邊形的每個內角是120°，正三角形的每個內角是60°，∵2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，③能；
正八邊形的每個內角為：180°-360°÷8=135°，正三角形的每個內角60°，135m+60n=360°，n=6-m，顯然m取任何正整數時，n不能得正整數，故不能鋪滿．
故選C．
點評：幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角．