Question

已知：如圖，?ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，點P從點A出發，沿AD方向勻速運動，速度為3cm/s；點Q從點C出發，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s，連接并延長QP交BA的延長線于點M，過M作MN⊥BC，垂足是N，設運動時間為t（s）（0＜t＜1）
解答下列問題：
（1）當t為何值時，四邊形AQDM是平行四邊形？
（2）設四邊形ANPM的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式：
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半？若存在，求出相應的t值；若不存在，說明理由．
（4）連接AC，是否存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分？若存在，求出相應的t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行四邊形的對角線互相平分得出AP=DP，代入求出即可；
（2）求出AP和MN的值，根據三角形的面積公式求出即可；
（3）假設存在某一時刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半．根據（2）中求出的關系式，列方程求出t的值；
（4）假設存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分，證△APW∽△CNW，得出=，代入求出即可．
解答：解：（1）∵當AP=PD時，四邊形AQDM是平行四邊形，
即3t=3-3t，
t=，
∴當t=s時，四邊形AQDM是平行四邊形．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴=，
∴=，
∴AM=t，
∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=1+t，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
∴y=×AP×MN
=•3t•（1+t）
即y與t之間的函數關系式為y=t²+t（0＜t＜1）．

（3）假設存在某一時刻t，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半．
此時t²+t=×3×，
整理得：t²+t-1=0，
解得t₁=，t₂=（舍去）
∴當t=s時，四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半．

（4）存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分，
理由是：假設存在某一時刻t，使NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴△APW∽△CNW，
∴=，
即=或=，
∴t=或，
∵兩數都在0＜t＜1范圍內，即都符合題意，
∴當t=s或s時，NP與AC的交點把線段AC分成的兩部分．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，平行四邊形的性質，解直角三角形，勾股定理的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度．