Question

如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、DC邊上的兩點，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N．下列結論：①AB²=BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM•AE=AN•AF；④BE+DF=

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MN．其中正確的結論是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

分析：①轉證AB：BN=DM：AB，因為AB=AD，所以即證AB：BN=DM：AD．證明△ABN∽△ADM（根據兩角相等）；
②把△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得△ADH．證明△AFH≌△AFE（SAS）；
③即證AM：AN=AF：AE．證明△AMN∽△AFE（兩角相等）；
④由②得BE+DF=EF．運用特值法驗證．當E點與B點重合、F與C重合時，根據正方形的性質，結論成立．

解答：解：①∵∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°，
∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠BAN=∠AMD．
又∠ABN=∠ADM=45°，
∴△ABN∽△ADM，
∴AB：BN=DM：AD．
∵AD=AB，
∴AB2=BN•DM．
故①正確；
②
把△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADH．
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠EAF=∠HAF．
∵AE=AH，AF=AF，
∴△AEF≌△AHF，
∴∠AFH=∠AFE，即AF平分∠DFE．
故②正確；
③∵AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN．
∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，
∴∠AFE=∠AMN．
又∠MAN=∠FAE，
∴△AMN∽△AFE．
∴AM：AF=AN：AE，即
AM•AE=AN•AF．
故③正確；
④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE．
過A作AO⊥BD，作AG⊥EF．
則△AFE與△AMN的相似比就是AG：AO．
易證△ADF≌△AGF（AAS），
則可知AG=AD=根2AO，從而得證
故④正確．
故選D．

點評：此題考查了正方形的性質、相似（包括全等）三角形的判定和性質、旋轉的性質等知識點，綜合性極強，難度較大．