Question

【題目】如圖，ABCD中，對角線AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分別是OC，OD，AB的中點，下列結論

①BE⊥AC

②四邊形BEFG是平行四邊形

③EG=GF

④EA平分∠GEF

其中正確的是（　　）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由平行四邊形的性質可得OB=BC，由等腰三角形的性質可判斷①正確，由直角三角形的性質和三角形中位線定理可判斷③錯誤，由BG=EF，BG∥EF∥CD可證四邊形BEFG是平行四邊形，可得②正確．由平行線的性質和等腰三角形的性質可判斷④正確．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BO=DO=BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，

又∵BD=2AD，

∴OB=BC=OD=DA，且點E 是OC中點，

∴BE⊥AC，

故①正確，

∵E、F分別是OC、OD的中點，

∴EF∥CD，EF=CD，

∵點G是Rt△ABE斜邊AB上的中點，

∴GE=AB=AG=BG，

∴EG=EF=AG=BG，無法證明GE=GF，

故③錯誤，

∵BG=EF，BG∥EF∥CD，

∴四邊形BEFG是平行四邊形，

故②正確，

∵EF∥CD∥AB，

∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，

∵AG=GE，

∴∠GAE=∠AEG，

∴∠AEG=∠AEF，

∴AE平分∠GEF，故④正確，

故選B．