Question

如圖，大圓O的直徑AB=24cm，分別以OA、OB為直徑作⊙O₁和⊙O₂，并在圓⊙O₁和⊙O₂的空隙間作兩個等圓⊙O₃和⊙O₄．這些圓互相內切或外切，則四邊形O₁O₄O₂O₃的面積為    cm²．

Answer 1

【答案】分析：連接O₁O₃，O₂O₃，O₂O₄，O₁O₄，O₃O，根據相切兩圓的性質得出O₁O₃=O₂O₃=O₂O₄=O₁O₄，得出菱形O₁O₄O₂O₃，推出O₃O₄⊥O₁O₂，O₃O=O₄O，求出O₁O₂=12，OO₁=6，設⊙O₃的半徑是x，則O₁O₃=6+x，OO₃=12-x，在Rt△OO₁O₃中，由勾股定理得出方程（6+x）²=6²+（12-x）²，求出x，根據圖形得出四邊形O₁O₄O₂O₃的面積為2個△O₁O3O₂的面積，求出△O₁O₂O₃的面積即可．
解答：解：
連接O₁O₃，O₂O₃，O₂O₄，O₁O₄，O₃O，
∵根據相切兩圓的性質得：O₁O₃=O₂O₃=O₂O₄=O₁O₄，
∴四邊形O₁O₄O₂O₃是菱形，
∴O₃O₄⊥O₁O₂，O₃O=O₄O，
∵AB=24，
∴O₁O₂=AB=12，OO₁=AB=6，
設⊙O₃的半徑是x，則O₁O₃=6+x，OO₃=12-x，
在Rt△OO₁O₃中，由勾股定理得：（6+x）²=6²+（12-x）²，
解得：x=4，
故四邊形O₁O₄O₂O₃的面積為2個△O₁O3O₂的面積，是2××12×（12-4）=96，
故答案為：96．
點評：本題考查了菱形的性質和判定，三角形的面積．相切兩圓的性質等知識的，題目綜合性比較強，難度偏大，解此題的關鍵是得出四邊形O₁O₃O₂O₄是菱形和求出⊙O₃的半徑．