Question

在直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，且使得△OAB的面積值等于|OA|+|OB|+3
（1）用b表示k；
（2）求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出A，B兩點的坐標，然后表示出△OAB的面積，令其等于|OA|+|OB|+3即可用b表示k；
（2）化簡所求式子后根據配方法即可求出△OAB面積的最小值．

解答：解：（1）令x=0，得y=b，b＞0；
令y=0，得x=-

b

k

＞0，k＜0．
所以A，B兩點的坐標分別為A(-

b

k

，0)，B(0，b)，
于是，△OAB的面積為S=

1

2

b•(-

b

k

)．
由題意，有

1

2

b•(-

b

k

)=-

b

k

+b+3，
解得k=

2b-b2

2(b+3)

，b＞2；

（2）由（1）知S=

1

2

b•(-

b

k

)=

b(b+3)

b-2

=

(b-2)2+7(b-2)+10

b-2

=b-2+

10

b-2

+7=(

b-2

-

10 b-2

)2+7+2

10

≥7+2

10

，
當且僅當b-2=

10

b-2

時，有S=7+2

10

，
即當b=2+

10

，k=-1時，不等式中的等號成立．
所以，△OAB面積的最小值為7+2

10

．

點評：本題考查了二次函數的最值及三角形的面積，難度一般，關鍵是根據已知條件求出用b表示k后由配方法即可得出答案．