Question

如圖1，以△ABC的邊AB，AC為直角邊作等腰△ABE和△ACD，M是BC的中點．
（1）若∠BAC=90°，如圖1．請你猜想線段DE，AM的數量關系，并證明你的結論；
（2）若∠BAC≠90°．
①如圖2．請你猜想線段DE，AM的數量關系，并證明你的結論；
②如圖3．請你判斷線段DE，AM的數量關系．

Answer 1

解：（1）DE=2AM．
∵∠BAC=∠EAB=∠DAC=90°，
∴∠EAD=90°．
∵AB=AE，AC=AD，
∴△ABC≌△AED．
∵M是BC的中點，
∴BC=2AM．
∴DE=2AM．

（2）①DE=2AM．
延長AM到F，使得AM=MF．連接BF、CF．
如圖．
∵AM=MF，BM=MC，
∴四邊形ABFC是平行四邊形．
∴AB=AE=FC．
∵∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠BAC+∠EAD=180°．
∵∠BAC+∠ACF=180°，
∴∠EAD=∠ACF．
∵AC=AD，AE=FC，
∴△AFC≌△AED．
∴AF=DE．
∴DE=2AM．
②DE=2AM．
分析：（1）AB，AC為直角邊，M是BC的中點，BC=2AM，證明△ABC≌△AED，得出DE=2AM．
（2）延長AM到F，使得AM=MF，則AF=2AM，連接BF、CF．由SAS證出△CFA≌△AED，得出AF=DE，從而DE=2AM．
點評：本題考查了全等三角形的判定及性質；延長中線的一倍是一種常用的輔助線的作法，（2）運用此作法得出2AM即為線段AF，然后借助三角形全等將DE等量轉化為AF．（1）是（2）的特殊情況，同樣，（1）也可以運用此種作法來做．