Question

如圖，在一塊正方形ABCD木板上要貼三種不同的墻紙，正方形EFCG部分貼A型墻紙，△ABE部分貼B型墻紙，其余部分貼C型墻紙．A型、B型、C型三種墻紙的單價分別為每平方60元、80元、40元．
探究1：如果木板邊長為2米，FC=1米，則一塊木板用墻紙的費用需______元；
探究2：如果木板邊長為1米，當FC的長為多少時，一塊木板需用墻紙的費用最省？最省是多少元？
探究3：設木板的邊長為a（a為整數），當正方形EFCG的邊長為多少時？墻紙費用最省．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出正方形EGFC和三角形ABE的面積，再求出剩余的面積，用個面積乘以所需費用，
（2）設EF=x，BF=（1-x）m，總費用為y元，用x表示出正方形EGFC和三角形ABE的面積，用x表示總費用，求出其最值；
（3）同（2）一樣，設FC=xm，則BF=（a-x）m，總費用為y元，得到y=20x²-20ax+60a²，當x=a時，y有最小值，即墻紙費用最省．
解答：解：（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S_△ABE=×2×1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，
∴一塊木板用墻紙的費用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；

（2）設EF=xm，BF=（1-x）m，總費用為y元，
正方形EGFC的面積=x²，△ABE的面積=，
則空白面積為：1-x²-，
故總費用為：y=60x²+80×+40×（1-x²-）
=20x²-20x+60=20（x-）²+55，
故當x=時，總費用最省為55；

（3）設FC=xm，則BF=（a-x）m，總費用為y元，
∴S_△ABE=•（a-x）•a=（a²-ax），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=a²-（a²-ax）-x²=-x²+ax+a²，
∴y=（a²-ax）×80+x²•60+（-x²+ax+a²）•40
=20x²-20ax+60a²=20（x-a）²+55a²，
故當x=a時，y有最小值，即墻紙費用最省，
答：當正方形EFCG的邊長為a時墻紙費用最省．
點評：本題考查了二次函數的應用：根據實際問題列出二次函數關系式，然后利用二次函數的性質，特別是二次函數的最值問題解決實際中的最大或最小值問題．