Question

如圖，在一塊正方形ABCD木板上要貼三種不同的墻紙，正方形EFCG部分貼A型墻紙，△ABE部分貼B型墻紙，其余部分貼C型墻紙．A型、B型、C型三種墻紙的單價(jià)分別為每平方60元、80元、40元．
探究1：如果木板邊長(zhǎng)為2米，F(xiàn)C=1米，則一塊木板用墻紙的費(fèi)用需

220

元；
探究2：如果木板邊長(zhǎng)為1米，當(dāng)FC的長(zhǎng)為多少時(shí)，一塊木板需用墻紙的費(fèi)用最省？最省是多少元？
探究3：設(shè)木板的邊長(zhǎng)為a（a為整數(shù)），當(dāng)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為多少時(shí)？墻紙費(fèi)用最省．

Answer 1

分析：（1）首先求出正方形EGFC和三角形ABE的面積，再求出剩余的面積，用個(gè)面積乘以所需費(fèi)用，
（2）設(shè)EF=x，BF=（1-x）m，總費(fèi)用為y元，用x表示出正方形EGFC和三角形ABE的面積，用x表示總費(fèi)用，求出其最值；
（3）同（2）一樣，設(shè)FC=xm，則BF=（a-x）m，總費(fèi)用為y元，得到y(tǒng)=20x²-20ax+60a²，當(dāng)x=

1

2

a時(shí)，y有最小值，即墻紙費(fèi)用最省．

解答：解：（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S_△ABE=

1

2

×2×1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，
∴一塊木板用墻紙的費(fèi)用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；

（2）設(shè)EF=xm，BF=（1-x）m，總費(fèi)用為y元，
正方形EGFC的面積=x²，△ABE的面積=

1-x

2

，
則空白面積為：1-x²-

1-x

2

，
故總費(fèi)用為：y=60x²+80×

1-x

2

+40×（1-x²-

1-x

2

）
=20x²-20x+60=20（x-

1

2

）²+55，
故當(dāng)x=

1

2

時(shí)，總費(fèi)用最省為55；

（3）設(shè)FC=xm，則BF=（a-x）m，總費(fèi)用為y元，
∴S_△ABE=

1

2

•（a-x）•a=

1

2

（a²-ax），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=a²-

1

2

（a²-ax）-x²=-x²+

1

2

ax+

1

2

a²，
∴y=

1

2

（a²-ax）×80+x²•60+（-x²+

1

2

ax+

1

2

a²）•40
=20x²-20ax+60a²=20（x-

1

2

a）²+55a²，
故當(dāng)x=

1

2

a時(shí)，y有最小值，即墻紙費(fèi)用最省，
答：當(dāng)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為

1

2

a時(shí)墻紙費(fèi)用最省．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，特別是二次函數(shù)的最值問題解決實(shí)際中的最大或最小值問題．